해설 보기
정답f(x)=11이 되는 x=3을 찾아 g(11)=(g∘f)(3)=3²+1=10을 얻습니다.
핵심 개념
합성함수와 함숫값 대입
합성함수 (g∘f)(x)는 g(f(x))를 의미하며, 안쪽 함수 f의 출력값이 바깥쪽 함수 g의 입력값이 됩니다. 따라서 g의 특정 함숫값 g(k)를 구하려면 먼저 f(x)=k가 되는 x를 찾아 그 x를 합성함수 식에 대입하는 것이 핵심입니다. 이 문제에서는 f(x)=3x+2, (g∘f)(x)=g(f(x))=x²+1이 주어졌으므로, g(11)을 구하려면 f(x)=11을 만족하는 x를 먼저 찾아야 합니다. g에 직접 대입하는 실수를 피하고, 반드시 f의 출력이 11이 되는 지점을 경유해야 정확한 값을 얻을 수 있습니다.
선지별 해설
①f(x)=3x+2=11을 풀면 3x=9, x=3입니다. g(11)=g(f(3))=(g∘f)(3)=3²+1=9+1=10이므로 정답입니다.
②11은 g(11)에 11을 그대로 넣거나 (g∘f)(x)에 x=11 근처 값을 잘못 대입할 때 나오는 값으로, f(x)=11의 해 x=3을 대입한 결과가 아닙니다.
③12는 계산 과정에서 x=3 대신 다른 값을 대입하거나 x²+1을 x²+2 등으로 오독할 때 나오는 값으로 올바른 결과가 아닙니다.
④13은 (g∘f)(x)=x²+1에서 x를 잘못 설정했을 때 나올 수 있는 값이며, f(3)=11을 경유한 정확한 값 10과 다릅니다.
해설 보기
정답극한을 (3/2)f'(1)로 변형하고, f'(1)=3·1²+1=4를 대입하여 (3/2)·4=6을 얻습니다.
핵심 개념
미분계수의 정의를 이용한 극한 계산
미분계수의 정의는 f'(a)=lim_{h→0} [f(a+h)-f(a)]/h 입니다. 분자의 증분과 분모의 증분이 같은 형태로 맞아떨어질 때 미분계수가 됩니다. 이 문제처럼 분자가 f(1+3h)-f(1)이고 분모가 2h인 경우, 분모를 3h로 맞추기 위해 3/2를 곱하는 조작이 필요합니다. 즉 [f(1+3h)-f(1)]/(2h)=(3/2)·[f(1+3h)-f(1)]/(3h)이며, h→0일 때 뒤 극한은 f'(1)이 됩니다. 다항함수의 도함수는 각 항을 nxⁿ⁻¹로 미분하여 구합니다.