해설 보기
정답평균속도 0.1 m/s를 대입한 Re = 1,000이 정답입니다.
핵심 개념
원관 층류의 최대속도-평균속도 관계와 레이놀즈 수 계산
원형관 내 정상상태의 완전발달 층류에서는 속도분포가 포물선 형태를 이루고, 관 중심에서 최대속도가 나타납니다. 이때 단면 평균속도는 최대속도의 정확히 절반, 즉 v_avg = v_max/2 입니다. 레이놀즈 수는 Re = ρvD/μ로 정의되는데 여기에 들어가는 v는 중심 유속이 아니라 단면 평균속도이므로, 문제에서 준 중심 유속을 그대로 대입하면 안 됩니다. 단위 환산도 함께 요구됩니다. 밀도 1 g/cm³ = 1,000 kg/m³, 점도 1 cP = 0.01 P = 0.001 Pa·s, 내경 1 cm = 0.01 m 입니다. 이를 대입하면 Re = (1,000 × 0.1 × 0.01) / 0.001 = 1,000 이 됩니다.
선지별 해설
①100은 점도를 1 cP가 아니라 10 cP로 잘못 보거나 밀도 환산을 한 자리 틀렸을 때 나오는 값입니다. 정확한 SI 단위를 대입하면 1,000이 됩니다.
②200은 평균속도를 취한 뒤 단위 환산에서 한 자리 실수했을 때 나오는 값입니다. 계산 결과와 맞지 않으므로 정답이 아닙니다.
③평균속도 v = 0.2/2 = 0.1 m/s를 써서 Re = ρvD/μ = 1,000 × 0.1 × 0.01 / 0.001 = 1,000 입니다. 2,100 미만이므로 층류라는 문제 조건과도 일치합니다.
④2,000은 중심 유속 0.2 m/s를 평균속도로 착각해 그대로 대입했을 때 나오는 값입니다. 층류에서는 평균속도가 최대속도의 절반이므로 절반인 1,000이 맞습니다.
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정답유량은 반지름의 4제곱에 비례하므로 2⁴ = 16배가 됩니다.
핵심 개념
Hagen-Poiseuille 식과 반지름의 4제곱 비례 관계
Hagen-Poiseuille 식은 원관 내 비압축성 뉴턴 유체의 정상상태 층류 유동에 적용되는 관계식으로, 부피유량은 Q = πΔP·R⁴ / (8μL)로 표현됩니다. 여기서 R은 관의 반지름, ΔP는 압력차, μ는 점도, L은 관의 길이입니다. 이 식의 핵심은 유량이 반지름의 4제곱에 비례한다는 점입니다. 압력차·길이·점도가 모두 일정하다면 유량 변화는 오직 반지름 변화로만 결정되므로, 반지름이 2배가 되면 유량은 2⁴ = 16배가 됩니다. 관경을 조금만 키워도 유량이 급격히 늘어나는 이유이자, 혈관이 좁아질 때 유량이 급감하는 원리이기도 합니다.