해설 보기
정답메시지 신호의 초기 위상은 신호 전력·주파수 편이·대역폭 어느 것도 바꾸지 않아 S/N에 영향을 주지 않습니다.
핵심 개념
FM 복조 출력 S/N을 결정하는 인자
FM 수신기의 복조 출력 S/N은 SNR_o = 3·k_f²·P_m·A_c² / (2·N₀·W³) 로 주어지며, 변조 지수 β = Δf/f_m = k_f·A_m/f_m 를 써서 SNR_o = 3β²·(수신 반송파 SNR) 형태로도 씁니다. 즉 반송파 전력, 잡음 전력 밀도와 함께 메시지 신호의 진폭(주파수 편이 Δf를 결정), 메시지 신호의 주파수(대역폭 W를 결정), 그리고 이 둘로 정해지는 변조 지수가 모두 S/N에 관여합니다. 반면 정현파의 초기 위상은 신호 전력 A_m²/2에도, 주파수 편이에도, 대역폭에도 전혀 영향을 주지 않으므로 S/N과 무관합니다.
선지별 해설
①FM 출력 SNR은 변조 지수 β의 제곱에 비례(SNR_o ∝ 3β²)하므로, 변조 지수는 S/N을 직접 결정하는 대표적 인자입니다.
②메시지 진폭 A_m이 커지면 주파수 편이 Δf = k_f·A_m 가 커져 β가 증가하고, 출력 S/N도 β²에 비례해 커지므로 영향을 줍니다.
③초기 위상은 정현파의 시간 원점만 이동시킬 뿐 신호 전력 A_m²/2, 주파수 편이, 점유 대역폭을 모두 그대로 두므로 S/N 식에 등장하지 않습니다. 그래서 이 선지가 정답입니다.
④메시지 주파수 f_m은 대역폭 W가 되어 SNR_o ∝ 1/W³ 로 작용하고 β = Δf/f_m 도 바꾸므로 S/N에 영향을 줍니다.
해설 보기
정답∫_{−1}^{1} c(1−x²)dx = 4c/3 = 1 이므로 c = 3/4 입니다.
핵심 개념
확률 밀도 함수의 정규화 조건
확률 밀도 함수(pdf)가 되기 위한 필수 조건은 (i) 모든 x에서 f_X(x) ≥ 0 이고, (ii) 전 구간 적분값이 1, 즉 ∫f_X(x)dx = 1 이어야 한다는 것입니다. 상수 c를 구하는 문제는 이 정규화 조건을 그대로 적용하면 됩니다. 주어진 pdf는 −1 ≤ x ≤ 1 에서만 값을 가지므로 ∫_{−1}^{1} c(1−x²)dx = c[x − x³/3]_{−1}^{1} = c{(1 − 1/3) − (−1 + 1/3)} = c(2/3 + 2/3) = 4c/3 입니다. 이것이 1이어야 하므로 c = 3/4 이 됩니다. 참고로 피적분 함수가 우함수이므로 2∫_0^1 c(1−x²)dx = 2c(1 − 1/3) = 4c/3 으로 계산해도 같습니다.