해설 보기
정답a = 1/6이고 X의 분산은 3입니다.
핵심 개념
균일 분포(Uniform Distribution)의 확률밀도함수와 분산
구간 [a, b]에서 균일 분포를 갖는 확률 변수의 확률밀도함수는 그 구간에서 일정한 값을 갖고 나머지 구간에서는 0입니다. 확률밀도함수는 전체 구간에 대한 적분값이 반드시 1이어야 하므로(정규화 조건), 높이는 1/(b-a)로 결정됩니다. 또한 균일 분포의 평균은 구간의 중앙인 (a+b)/2이고, 분산은 (b-a)^2/12이라는 공식이 널리 쓰입니다. 이 문제는 정규화 조건으로 상수를 구하고 분산 공식을 적용하는 기본 확률 문제입니다.
선지별 해설
①a = 1/3이면 적분값이 (1/3)×6 = 2가 되어 확률의 총합이 1이라는 조건을 위반합니다. 분산 12도 (6-0)^2/12 = 3과 맞지 않으므로 두 값 모두 틀렸습니다.
②분산 3은 맞지만 a = 1/3은 정규화 조건을 만족하지 않습니다. 폭이 6인 구간에서 높이가 1/3이면 면적이 2가 되므로 확률밀도함수가 될 수 없습니다.
③a = 1/6은 옳지만 분산이 12라는 값이 틀렸습니다. 12는 (b-a)^2 = 36을 3으로 나눈 값으로, 분산 공식의 분모 12를 잘못 적용한 결과입니다.
④정규화 조건 ∫0~6 a dx = 6a = 1에서 a = 1/6입니다. 분산은 (b-a)^2/12 = (6-0)^2/12 = 36/12 = 3이므로, a = 1/6, 분산 = 3인 이 선지가 정답입니다.
해설 보기
정답X_(-1) = +j, X_1 = -j입니다.
핵심 개념
복소 푸리에 급수 계수와 오일러 공식
주기 신호는 복소 지수 함수의 합인 복소 푸리에 급수 x(t) = Σ X_n e^(jnω0t)로 표현할 수 있습니다. 사인·코사인 형태의 신호는 오일러 공식 sinθ = (e^(jθ) - e^(-jθ))/(2j), cosθ = (e^(jθ) + e^(-jθ))/2를 적용해 바로 복소 지수의 합으로 바꿀 수 있고, 이때 e^(jnω0t) 앞에 붙은 계수가 곧 X_n이 됩니다. 실수 신호이므로 X_(-n)은 X_n의 켤레복소수가 되며, 사인 신호는 계수가 순허수로 나타나는 것이 특징입니다.