해설 보기
정답E[X] = 1.5이므로 E[2X+1] = 2(1.5)+1 = 4입니다.
핵심 개념
확률밀도함수와 기댓값의 선형성
연속랜덤변수의 기댓값은 E[X] = ∫ x·f_X(x) dx로 구합니다. 또한 기댓값은 선형 연산자이므로 상수 a, b에 대해 E[aX+b] = a·E[X] + b가 항상 성립합니다. 즉 E[2X+1]을 구하려면 먼저 E[X]를 적분으로 계산한 뒤 2배 하고 1을 더하면 됩니다. 이 문제에서 f_X(x) = (3/8)x²(0 ≤ x ≤ 2)이므로 E[X] = ∫₀² x·(3/8)x² dx = (3/8)·[x⁴/4]₀² = (3/8)·4 = 3/2 = 1.5입니다. 따라서 E[2X+1] = 2(1.5) + 1 = 4가 됩니다. 참고로 ∫₀² (3/8)x² dx = (3/8)(8/3) = 1이므로 주어진 함수가 정상적인 확률밀도함수임도 확인됩니다.
선지별 해설
①3은 2·E[X] = 3만 계산하고 상수항 +1을 더하지 않은 값이므로 틀렸습니다.
②3.5는 E[X²] 등을 잘못 대입했거나 적분 상한을 잘못 적용한 값으로, 정확한 계산 결과와 맞지 않습니다.
③E[X] = ∫₀² x·(3/8)x² dx = (3/8)(2⁴/4) = 1.5이고, E[2X+1] = 2(1.5)+1 = 4이므로 정답입니다.
④4.5는 E[X]를 1.75 등으로 잘못 구했을 때 나오는 값이며, 올바른 적분 결과 1.5와 일치하지 않습니다.
해설 보기
정답전력 신호는 에너지가 무한대로 발산하므로 '전력 신호의 에너지는 유한하다'는 설명이 틀렸습니다.
핵심 개념
에너지 신호와 전력 신호의 구분
신호는 총에너지 E = ∫|x(t)|²dt와 평균전력 P = lim (1/T)∫|x(t)|²dt의 값에 따라 분류합니다. 에너지가 유한하고 0이 아니면(0 < E < ∞) 에너지 신호이며, 이때 유한한 에너지를 무한한 시간으로 나누므로 평균전력은 반드시 0이 됩니다. 반대로 평균전력이 유한하고 0이 아니면(0 < P < ∞) 전력 신호이며, 이 경우 시간이 무한히 흘러도 전력이 유지되므로 총에너지는 무한대로 발산합니다. 즉 한 신호가 에너지 신호이면서 동시에 전력 신호일 수는 없습니다. 정현파 같은 주기 신호는 영원히 반복되어 에너지가 무한하지만 한 주기 평균전력은 유한하므로 대표적인 전력 신호입니다.