해설 보기
정답두 곡선의 대칭축이 모두 0이므로 평균은 같고, A가 더 뾰족하므로 A의 분산이 더 작습니다.
핵심 개념
정규분포 그래프에서 평균과 분산 읽기
정규분포 곡선은 평균을 중심으로 좌우대칭이므로, 곡선의 대칭축(봉우리) 위치가 곧 평균입니다. 분산은 곡선의 퍼짐 정도를 결정하는데, 분산이 작을수록 자료가 평균 근처에 몰려 곡선이 좁고 뾰족해지고(최고점이 높음), 분산이 클수록 넓고 완만해집니다(최고점이 낮고 꼬리가 두꺼움). 두 곡선의 봉우리 위치를 비교해 평균을, 봉우리 높이와 폭을 비교해 분산을 판단하는 것이 핵심입니다.
선지별 해설
①평균이 같다는 판단은 옳지만, 분산의 대소가 반대입니다. 그래프에서 A가 더 좁고 높은 곡선이므로 A의 분산이 더 작아 σ²_A < σ²_B 입니다.
②두 곡선 모두 x=0을 대칭축으로 하므로 μ_A = μ_B 입니다. 또한 A가 봉우리가 높고 폭이 좁으며 꼬리가 얇으므로 σ²_A < σ²_B 입니다. 따라서 이 선지가 정답입니다.
③두 곡선의 봉우리가 모두 0에 있어 평균이 같으므로 μ_A > μ_B 라는 판단부터 틀렸고, 분산 관계도 반대로 서술되어 있습니다.
④분산 관계 σ²_A < σ²_B 는 옳지만 평균에 대한 판단이 틀렸습니다. 대칭축이 둘 다 0이므로 μ_A = μ_B 이지 μ_A > μ_B 가 아닙니다.
해설 보기
정답∫₀¹ ax(1-x)dx = a/6 = 1 이므로 a = 6 입니다.
핵심 개념
확률밀도함수의 전체 적분값은 1
연속확률변수의 확률밀도함수 f(x)는 두 가지 조건을 만족해야 합니다. 첫째 모든 x에서 f(x) ≥ 0 이고, 둘째 정의역 전체에 대한 적분값이 정확히 1이어야 합니다. 밀도함수에 미지의 상수가 들어 있으면 이 두 번째 조건, 즉 ∫f(x)dx = 1 이라는 정규화 조건을 이용해 상수를 결정합니다. 이 문제에서는 0 ≤ x < 1 구간에서만 함수값이 존재하므로 그 구간에서만 적분하면 됩니다.
선지별 해설