해설 보기
정답z^2 = 2i이므로 z^10 = (2i)^5 = 32·i^5 = 32i입니다.
핵심 개념
복소수의 거듭제곱과 (1+i)^2 = 2i 활용
복소수의 높은 차수 거듭제곱은 정의대로 곱하기보다 낮은 차수의 규칙을 찾아 지수법칙으로 묶는 것이 핵심입니다. 특히 z = 1 + i는 z^2 = (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i라는 아주 간단한 형태로 정리됩니다. 따라서 z^10 = (z^2)^5 = (2i)^5과 같이 지수를 나누어 계산하면 됩니다. 여기서 허수단위의 순환 i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 (주기 4)을 이용하면 i^5 = i^4·i = i가 됩니다. (2i)^5 = 2^5·i^5 = 32i로 간단히 정리되므로, 복소수 거듭제곱은 반드시 z^2를 먼저 정리해 지수를 압축하는 습관이 중요합니다.
선지별 해설
①16i는 (2i)^4 = 16·i^4 = 16에 해당하는 값을 잘못 연결한 결과이거나 지수를 z^8로 착각한 경우입니다. z^10 = (z^2)^5 = (2i)^5이므로 32i가 되어 16i는 틀립니다.
②z^2 = 2i를 (1+i)^2로 잘못 전개하여 실수부가 남는다고 오해할 때 나오는 형태입니다. 실제로는 1 + 2i - 1 = 2i로 실수부가 소거되므로 16 + 16i는 성립하지 않습니다.
③z^2 = (1+i)^2 = 2i이므로 z^10 = (z^2)^5 = (2i)^5 = 2^5·i^5 = 32·i = 32i입니다. i^5 = i^4·i = i임을 이용하면 정확히 32i가 나옵니다.
④32 + 32i는 크기(계수) 32는 맞게 잡았으나 i^5 = i이므로 실수부는 존재하지 않습니다. 최종 결과는 순허수 32i이므로 실수부 32가 붙은 이 선지는 틀립니다.
해설 보기
정답f(-1) = 2이고, (h∘g)(x) = 3x - 1이므로 h(g(2)) = 3·2 - 1 = 5입니다.
핵심 개념
합성함수 결합법칙과 (h∘g)(x) 직접 대입
합성함수는 결합법칙 (h∘(g∘f))(x) = ((h∘g)∘f)(x) = (h∘g)(f(x))가 성립합니다. 이 문제의 핵심은 개별 함수 g, h를 따로 구하지 않고도 이미 주어진 h∘g를 하나의 함수로 취급하는 것입니다. 즉 h(g(x)) = 3x - 1 자체를 공식처럼 쓰면 됩니다. (h∘(g∘f))(-1) = h(g(f(-1)))이고, 여기서 안쪽부터 f(-1)을 먼저 계산한 뒤 그 값을 (h∘g)의 입력으로 넣으면 h(g(f(-1))) = 3·f(-1) - 1로 정리됩니다. 합성 순서를 안에서 밖으로 차근차근 계산하고, 주어진 합성함수를 통째로 활용하는 것이 계산량을 크게 줄이는 요령입니다.