해설 보기
정답전체 적분값이 C가 되므로 정규화 조건에 의해 C = 1입니다.
핵심 개념
확률밀도함수의 정규화 조건 — 라플라스(양측지수) 분포의 상수 구하기
모든 확률밀도함수는 전체 구간에서 적분한 값이 반드시 1이 되어야 한다는 정규화 조건을 만족합니다. 따라서 상수 C가 곱해진 밀도함수가 주어지면 ∫f_X(x)dx = 1을 풀어 C를 결정합니다. 이 문제의 exp(-2|x|)는 원점에 대해 좌우 대칭인 우함수(라플라스, 양측지수 분포)이므로, 음수 구간까지 따로 계산하지 말고 0부터 무한대까지 적분한 뒤 2배 하면 편리합니다. 즉 ∫C·exp(-2|x|)dx = 2C∫₀^∞ e^{-2x}dx = 2C×(1/2) = C가 되고, 이 값이 1이어야 하므로 C = 1입니다.
선지별 해설
①1/8은 지수의 계수 2를 두 번 나누는 식의 계산 착오에서 나오는 값입니다. 실제 적분값 2C×(1/2) = C이므로 1/8이 될 수 없습니다.
②1/4은 ∫₀^∞ e^{-2x}dx를 1/4로 잘못 계산했을 때 나오는 값입니다. 이 적분의 정확한 값은 1/2입니다.
③절댓값을 무시하고 x ≥ 0 구간만 적분해 C×(1/2) = 1로 놓으면 C = 2가 되고, 반대로 계수를 뒤집으면 1/2이 나옵니다. 양쪽 구간을 모두 더해야 하므로 틀렸습니다.
④우함수 성질을 이용하면 ∫_{-∞}^{∞} exp(-2|x|)dx = 2∫₀^∞ e^{-2x}dx = 2×(1/2) = 1이므로, C×1 = 1에서 C = 1이 됩니다.
해설 보기
정답t = 1~3, 5~7, 9~11 구간에만 정현파 한 주기가 나타나고 그 사이 구간은 0인 파형입니다.
핵심 개념
임펄스 열과의 컨벌루션 — 이동(shift)과 중첩(superposition)
임의의 신호를 δ(t - t₀)와 컨벌루션하면 그 신호가 t₀만큼 그대로 평행이동합니다. 따라서 임펄스 여러 개로 이루어진 h(t)와의 컨벌루션은 f(t)를 각 임펄스 위치로 옮겨 놓고 세기(부호)를 곱해 모두 더한 결과입니다. 여기서 f(t)는 t = 0부터 시작하는 주기 2의 정현파 sin(πt)이고, h(t)는 t = 1, 3, 5, 7, 9…에 세기가 +1, -1, +1, -1, +1로 번갈아 놓인 임펄스 열입니다. 홀수만큼 이동하면 sin(πt)의 부호가 뒤집히므로, 인접한 두 이동판이 서로 상쇄되어 g(t)는 (1,3), (5,7), (9,11) 구간에만 한 주기씩 남고 (3,5), (7,9) 구간에서는 0이 되는 형태가 됩니다.