해설 보기
정답옳은 것은 ㄱ과 ㄷ이므로 정답은 ②입니다.
핵심 개념
표본평균의 성질 — 편차의 합은 항상 0
표본평균 x̄는 자료의 총합을 자료 개수 n으로 나눈 값으로, 자료의 중심을 나타내는 가장 대표적인 척도입니다. 여기서 반드시 기억해야 할 성질은 편차(자료값 − 평균)의 합이 언제나 0이라는 점입니다. Σ(xᵢ − x̄) = Σxᵢ − n·x̄ = n·x̄ − n·x̄ = 0 이 되기 때문이며, 이 성질은 분산을 정의할 때 편차를 그냥 더하지 않고 제곱해서 더하는 이유이기도 합니다. 반대로 자주 나오는 함정은 평균을 중앙값의 성질과 혼동하는 것입니다. 자료를 개수 기준으로 절반씩 가르는 값은 중앙값이지 평균이 아닙니다. 평균은 극단값(이상치)에 끌려가는 성질이 있어서, 평균보다 큰 자료의 개수와 작은 자료의 개수는 얼마든지 달라질 수 있습니다.
선지별 해설
①ㄱ은 (1+3+5+7+9)/5 = 25/5 = 5로 옳지만, ㄴ이 틀렸습니다. 예를 들어 자료 1, 2, 9의 표본평균은 4인데 평균보다 큰 자료는 1개(9), 작은 자료는 2개(1, 2)로 개수가 다릅니다. 따라서 ㄱ, ㄴ 조합은 정답이 될 수 없습니다.
②ㄱ은 표본평균이 25/5 = 5로 옳고, ㄷ은 Σ(xᵢ − x̄) = Σxᵢ − n·x̄ = n·x̄ − n·x̄ = 0 이므로 자료가 무엇이든 항상 성립합니다. 옳은 것만 모은 조합이므로 이 선지가 정답입니다.
③ㄷ은 옳지만 ㄴ이 틀렸습니다. 자료를 개수 기준으로 절반씩 나누는 값은 중앙값이며, 평균은 극단값의 영향을 받아 한쪽으로 치우칠 수 있으므로 위아래 자료 개수가 같다는 보장이 없습니다.
④ㄱ과 ㄷ은 옳지만 ㄴ이 포함되어 있어 틀렸습니다. ㄴ은 평균이 아니라 중앙값의 성질에 가까운 서술이며, 좌우로 치우친 분포에서는 곧바로 반례가 나옵니다.
해설 보기
정답7x = 7/12에서 x = P(A∩B) = 1/12이므로 정답은 ①입니다.
핵심 개념
조건부확률의 정의로 P(A∩B) 구하기
조건부확률은 P(B|A) = P(A∩B)/P(A), P(A|B) = P(A∩B)/P(B)로 정의됩니다. 두 조건부확률 모두 분자가 똑같이 P(A∩B)라는 점이 이 문제의 핵심입니다. 따라서 구하려는 값 P(A∩B)를 x로 놓으면 두 조건부확률을 모두 x에 대한 식으로 바꿀 수 있고, 주어진 합의 조건이 x에 대한 일차방정식이 되어 곧바로 풀립니다. P(A) = 1/3, P(B) = 1/4이므로 P(B|A) = x/(1/3) = 3x, P(A|B) = x/(1/4) = 4x가 되고, 두 값을 더하면 7x입니다. 참고로 A와 B가 독립이라면 P(A∩B) = 1/3 × 1/4 = 1/12가 되는데, 이 문제는 독립을 가정하지 않고도 같은 값이 나오는 경우에 해당합니다.