해설 보기
정답ㄱ(중앙값 3점 차)과 ㄴ(사분위수범위 동일)만 옳고 ㄷ은 틀리므로 정답은 ②입니다.
핵심 개념
줄기-잎 그림에서 중앙값·사분위수범위·표준편차 비교하기
줄기-잎 그림은 자료를 크기 순으로 보존한 채 보여주는 그래프이므로, 값을 그대로 읽어 순서통계량을 바로 구할 수 있습니다. 남학생 15명은 51, 52, 63, 64, 65, 71, 72, 73, 74, 78, 81, 82, 93, 94, 95이고 여학생 15명은 54, 55, 66, 67, 68, 74, 75, 76, 77, 81, 84, 85, 96, 97, 98입니다. 두 자료를 나란히 놓고 보면 여학생 값이 남학생 값에 정확히 3점씩 더해진 형태라는 점이 핵심입니다. 자료 전체에 상수를 더하면 중앙값·사분위수 같은 위치 척도는 그만큼 이동하지만, 사분위수범위·표준편차 같은 산포 척도는 전혀 변하지 않습니다.
선지별 해설
①ㄱ만 옳다고 본 선지입니다. ㄴ의 사분위수범위도 남녀 모두 18로 같으므로 ㄱ만 고르는 것은 불충분합니다.
②n=15이므로 중앙값은 8번째 값입니다. 남학생 73점, 여학생 76점이라 ㄱ은 옳습니다. 또 Q1은 4번째, Q3은 12번째 값이므로 남학생은 82-64=18, 여학생은 85-67=18로 사분위수범위가 같아 ㄴ도 옳습니다.
③ㄷ이 포함되어 틀렸습니다. 여학생 자료는 남학생 자료에 3점씩 더한 것과 완전히 같아(예: 51→54, 78→81, 95→98) 산포가 동일하므로 표준편차도 두 집단이 같습니다.
④ㄱ·ㄴ은 옳지만 ㄷ은 틀리므로 셋 모두를 고르는 것은 오답입니다. 상수를 더하는 평행이동은 표준편차를 바꾸지 못합니다.
해설 보기
정답Var(X)=1, Var(Y)=4이므로 Var(X+Y)=5가 되어 정답은 ②입니다.
핵심 개념
유한모집단의 모분산과 독립 확률변수 합의 분산
모집단이 유한한 값들의 집합으로 주어지면, 그 모집단에서 임의추출한 확률변수는 각 값을 같은 확률로 갖는 이산확률변수가 됩니다. 이때 분산은 표본분산처럼 n-1로 나누는 것이 아니라 모분산 공식 Σ(x-μ)²/N을 씁니다. 또 X와 Y가 독립이면 공분산이 0이므로 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)가 성립합니다. 즉 두 모집단의 모분산을 각각 구해 더하기만 하면 됩니다.
선지별 해설