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정답최빈값 < 중앙값 < 평균
핵심 개념
왜도(비대칭도)와 최빈값·중앙값·평균의 위치 관계
분포의 비대칭성만 알면 세 대푯값의 상대적 위치가 자동으로 정해집니다. 그림처럼 오른쪽으로 긴 꼬리를 갖는 분포는 양의 왜도(right-skewed) 분포인데, 평균은 극단적으로 큰 관측값의 크기까지 그대로 반영하므로 꼬리 방향으로 가장 많이 끌려갑니다. 반면 최빈값은 확률밀도가 가장 높은 봉우리의 위치이므로 꼬리의 영향을 전혀 받지 않아 가장 왼쪽에 남고, 중앙값은 크기 순서만 보는 값이라 그 사이에 놓입니다. 결국 오른쪽 꼬리 분포에서는 '최빈값 < 중앙값 < 평균', 왼쪽으로 긴 꼬리를 갖는 음의 왜도 분포에서는 정반대로 '평균 < 중앙값 < 최빈값'이 성립합니다.
선지별 해설
①최빈값 < 평균 < 중앙값은 평균이 중앙값보다 작다고 본 배열입니다. 오른쪽 꼬리 분포에서 평균은 큰 관측값에 끌려 세 값 중 가장 크므로, 평균이 중앙값 앞에 올 수 없어 틀렸습니다.
②중앙값 < 평균 < 최빈값은 최빈값을 가장 크게 본 것인데, 최빈값은 그림 왼쪽의 뾰족한 봉우리 위치이므로 세 값 중 가장 작습니다. 따라서 틀렸습니다.
③꼬리의 영향을 받지 않는 최빈값(봉우리)이 가장 작고, 큰 값들에 끌려간 평균이 가장 크며, 순위 기준인 중앙값이 그 사이에 놓입니다. 오른쪽 꼬리 분포의 전형적인 순서이므로 옳습니다.
④평균 < 중앙값 < 최빈값은 왼쪽으로 긴 꼬리를 갖는 음의 왜도 분포에서 성립하는 순서입니다. 문제의 그림과 방향이 정반대이므로 틀렸습니다.
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정답0.6×8% + 0.4×6% = 7.2%
핵심 개념
전확률 공식으로 구하는 전체 합격률(가중평균)
전체 집단이 서로 겹치지 않는 몇 개의 부분집단으로 나뉘고 각 부분집단의 비율을 알 때, 전체 비율은 전확률 공식 P(합격) = P(남자)P(합격|남자) + P(여자)P(합격|여자)로 구합니다. 즉 각 집단의 합격률을 그 집단이 차지하는 구성비로 가중평균하는 것입니다. 이때 8%와 6%를 그냥 평균한 7%가 아니라는 점이 핵심입니다. 지원자 수가 많은 남자 쪽 합격률(8%)에 더 큰 가중치가 붙으므로 전체 합격률은 단순평균 7%보다 커야 합니다. 계산하면 0.6×0.08 + 0.4×0.06 = 0.048 + 0.024 = 0.072, 즉 7.2%입니다.