해설 보기
정답램프에서 1초 지연된 램프를 뺀 형태인 1/s² − (1/s²)e^(−s)입니다.
핵심 개념
구간별로 정의된 신호의 라플라스 변환 — 단위계단 함수와 시간이동 성질
그래프로 주어진 신호는 적분 정의로 직접 계산하기보다 단위계단 함수 u(t)를 이용해 기본 신호의 합으로 분해하는 것이 정석입니다. 핵심 도구는 시간이동(지연) 성질 L[f(t-a)u(t-a)] = e^(-as)F(s)이며, 기울기가 꺾이는 시점마다 항을 하나씩 추가해 주면 됩니다. 그림의 f(t)는 t=0부터 기울기 1로 증가하다가 t=1에서 값 1에 도달한 뒤 계속 1로 일정합니다. t=1 이후 기울기가 1에서 0으로 바뀌었으므로 기울기 1짜리 램프에서 t=1만큼 지연된 같은 램프를 빼 주면 됩니다. 즉 f(t) = t·u(t) − (t−1)·u(t−1)이고, L[t·u(t)] = 1/s²이므로 F(s) = 1/s² − (1/s²)e^(−s)가 됩니다.
선지별 해설
①이 식을 역변환하면 t·u(t) + u(t−1)이 되어 t>1에서 값이 t+1로 계속 증가합니다. 그림처럼 1로 평평해지지 않으므로 틀렸습니다.
②역변환하면 t·u(t) − u(t−1)이 되어 t>1에서 t−1이 되고 여전히 기울기 1로 증가합니다. 계단 항(1/s)을 빼도 기울기는 사라지지 않으므로 틀렸습니다.
③역변환하면 t·u(t) + (t−1)u(t−1)이 되어 t>1에서 기울기가 2로 오히려 커집니다. 지연된 램프를 더한 형태이므로 그림과 반대입니다.
④f(t) = t·u(t) − (t−1)u(t−1)을 변환한 결과입니다. t>1에서 두 램프의 기울기가 상쇄되어 값이 1로 일정해지므로 그림과 정확히 일치합니다.
해설 보기
정답ωn을 키우면 정착시간이 증가한다는 설명으로, 실제로는 ts ≈ 4/(ζωn)이므로 감소하기에 틀렸습니다.
핵심 개념
표준형 2차 시스템의 시간응답 지표 — 감쇠비 ζ와 고유진동주파수 ωn의 역할 구분
표준형 2차 시스템 G(s) = ωn²/(s² + 2ζωn·s + ωn²)의 단위계단 응답 지표는 ζ와 ωn이 서로 다른 역할을 맡습니다. 최대 오버슈트 Mp = exp(−πζ/√(1−ζ²))는 오직 ζ만의 함수여서 ζ가 커지면 감소하고 ωn과는 무관합니다. 반면 상승시간은 tr ≈ 1.8/ωn, 정착시간은 ts ≈ 4/(ζωn)으로 모두 ωn에 반비례합니다. 즉 ζ를 고정한 채 ωn만 키우면 응답 모양(오버슈트 비율)은 그대로인 채 시간축만 압축되어 상승시간과 정착시간이 함께 짧아집니다. 또 극점 위치로 보면 좌반평면의 복소극(0<ζ<1)은 진동을 동반한 부족감쇠 응답을 만듭니다.