해설 보기
정답e^(−(t−2))u(t−2) − e^(−6(t−2))u(t−2)
핵심 개념
전달함수와 라플라스 시간이동(지연) 정리
전달함수가 주어진 회로의 출력은 Vo(s) = H(s)·Vi(s)로 구합니다. 입력 vi(t) = 5u(t−2)의 라플라스 변환은 (5/s)e^(−2s)이므로 Vo(s) = [s/(s²+7s+6)]·(5/s)e^(−2s) = 5e^(−2s)/[(s+1)(s+6)]가 됩니다. 분모의 극점이 s = −1, −6이므로 부분분수로 전개하면 5/[(s+1)(s+6)] = 1/(s+1) − 1/(s+6)이고, 역변환은 e^(−t) − e^(−6t)입니다. 여기에 e^(−2s) 인자가 뜻하는 2초 지연(시간이동 정리)을 적용해 t 대신 t−2를 넣고 u(t−2)를 곱하면 최종 출력이 완성됩니다. 극점의 값과 지연시간을 모두 정확히 반영하는 것이 핵심입니다.
선지별 해설
①지연시간 2초는 맞게 반영했지만 두 번째 항의 지수가 −2(t−2)로 되어 있습니다. 분모 s²+7s+6 = (s+1)(s+6)의 극점은 s = −1과 s = −6이므로 두 번째 지수는 −6(t−2)여야 하며, −2는 존재하지 않는 극점입니다.
②Vo(s) = 5e^(−2s)/[(s+1)(s+6)]이고 부분분수 전개는 1/(s+1) − 1/(s+6)입니다. 역변환 e^(−t) − e^(−6t)에 2초 지연을 적용하면 e^(−(t−2))u(t−2) − e^(−6(t−2))u(t−2)로 극점(−1, −6)과 지연(2초)이 모두 정확합니다.
③지수가 −2(t−1), −2(t−2)로 되어 있어 극점 −1, −6이 전혀 반영되지 않았고, u(t−1)처럼 지연시간도 1초로 잘못 잡았습니다. 입력의 지연은 오직 2초 하나뿐이므로 두 항 모두 u(t−2)를 가져야 합니다.
④u(t−1), u(t−6)처럼 서로 다른 두 지연이 나타나는데, e^(−2s) 인자는 두 항에 동일하게 2초 지연만 부여합니다. 지수 −2(t−1), −2(t−6) 역시 극점 −1, −6과 무관한 값이어서 성립하지 않습니다.
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정답27 J (커패시터 9 J + 인덕터 18 J)
핵심 개념
직류 정상상태에서 커패시터·인덕터의 저장에너지
직류 정상상태에서는 커패시터가 개방(전류 0), 인덕터가 단락(전압 0)으로 동작합니다. 따라서 2Ω+2F 직렬가지에는 전류가 흐르지 않아 2Ω의 전압강하가 0이 되고, 커패시터 전압은 그 가지가 붙은 절점 전압과 같아집니다. 인덕터는 단락이므로 오른쪽 절점이 접지와 같아져 전원 → 3Ω → 1Ω → 인덕터 경로로 전류가 흐릅니다. 저장에너지는 W_C = ½CV², W_L = ½LI²로 계산하고 둘을 더해야 합니다. 한쪽만 계산하고 끝내는 실수가 가장 흔합니다.