해설 보기
정답중앙값(15)과 산술평균(105÷7=15)이 서로 같습니다.
핵심 개념
중앙값과 산술평균의 비교
중앙값은 자료를 크기순으로 정렬했을 때 한가운데 놓이는 값이고, 산술평균은 모든 관측값의 합을 자료 개수로 나눈 값입니다. 자료가 중심을 기준으로 좌우 대칭이면 두 값이 일치하고, 한쪽으로 긴 꼬리가 있으면 평균이 그 방향으로 끌려가 중앙값과 달라집니다. 이 문제는 자료가 7개(홀수)로 모두 주어져 있으므로, 정렬 후 4번째 값과 합을 7로 나눈 값을 직접 비교하면 바로 판정됩니다. 정렬하면 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19이고 합은 105입니다.
선지별 해설
①중앙값은 15, 산술평균도 15로 동일하므로 중앙값이 더 크다고 볼 수 없습니다.
②두 값이 모두 15로 같으므로 중앙값이 산술평균보다 작다는 설명도 성립하지 않습니다.
③정렬하면 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19이므로 4번째 값인 중앙값은 15이고, 합 105를 7로 나눈 산술평균도 15입니다. 자료가 15를 중심으로 ±1, ±2, ±4로 대칭이라 두 값이 정확히 일치합니다.
④관측값 7개가 모두 제시되어 있어 중앙값과 평균을 모두 계산할 수 있으므로 '알 수 없다'는 옳지 않습니다.
해설 보기
정답P(Y<16)=P(X>2)=P(Z>-2)이므로 P(Z>-2)와 같습니다.
핵심 개념
정규분포의 선형변환과 표준화
X가 정규분포를 따를 때 Y=a+bX도 정규분포를 따르며, E(Y)=a+bE(X), Var(Y)=b²Var(X)가 성립합니다. 여기서 X~N(12, 25)이므로 Y=20-2X의 평균은 20-2×12=-4, 분산은 (-2)²×25=100, 표준편차는 10입니다. 따라서 P(Y<16)=P(Z<(16+4)/10)=P(Z<2)=P(Z>-2)입니다. 부등식을 직접 정리해도 같은 결과인데, 20-2X<16 ⟺ -2X<-4 ⟺ X>2이고(음수로 나누면 부등호가 뒤집힙니다), 이를 표준화하면 Z=(X-12)/5>(2-12)/5=-2가 됩니다.