해설 보기
정답가제어성·가관측성은 전달함수만으로는 확인할 수 없고 상태공간 표현이 필요하므로 옳지 않은 설명입니다.
핵심 개념
상태공간방정식 vs 전달함수 — 가제어성·가관측성
전달함수는 입력과 출력 사이의 관계만 나타내는 외부 표현이라 시스템 내부 상태변수의 거동을 보여주지 못합니다. 반면 상태공간방정식은 내부 상태변수를 명시적으로 다루기 때문에 다중입출력(MIMO) 시스템이나 비선형 시스템의 모델링에도 쓸 수 있고, 내부 거동 해석도 가능합니다. 특히 가제어성(controllability)과 가관측성(observability)은 가제어성 행렬 [B AB A²B ...]과 가관측성 행렬 [C CA CA² ...]의 계수(rank)로 판정하는 개념이므로, 반드시 상태공간 표현이 있어야 확인할 수 있습니다. 전달함수에서는 극점-영점 상쇄가 일어나면 그 상쇄된 모드가 아예 보이지 않으므로 내부 가제어·가관측 여부를 알 수 없습니다.
선지별 해설
①상태공간방정식은 상태변수를 벡터로 다루기 때문에 입력·출력이 여러 개인 MIMO 시스템도 행렬 형태로 그대로 표현할 수 있고, 비선형 항을 포함한 상태방정식도 세울 수 있습니다. 전달함수가 선형·시불변·단일입출력에 한정되는 것과 대비되는 장점이므로 맞는 설명입니다.
②같은 전달함수라도 상태변수를 어떻게 잡느냐에 따라 제어표준형, 관측표준형, 대각(조단)표준형 등 여러 형태로 표현할 수 있습니다. 상태변수를 상사변환(T)으로 바꾸어도 전달함수는 동일하게 유지되므로, 표현 방법이 여러 가지라는 설명은 맞습니다.
③상태공간방정식은 내부 상태변수 x(t)의 시간적 변화를 직접 기술하므로, 출력에 나타나지 않는 내부 변수의 거동까지 해석할 수 있습니다. 이것이 전달함수(외부 표현)와 구분되는 상태공간(내부 표현)의 핵심 이점이므로 맞는 설명입니다.
④가제어성과 가관측성은 각각 가제어성 행렬 [B AB ⋯ Aⁿ⁻¹B], 가관측성 행렬 [C CA ⋯ CAⁿ⁻¹]ᵀ의 계수로 판정하므로 A, B, C 행렬, 즉 상태공간 표현이 반드시 필요합니다. 전달함수는 극점-영점 상쇄가 일어나면 그 모드가 사라져 버려 내부 가제어·가관측 여부를 판별할 수 없으므로 옳지 않은 설명이며, 이 선지가 정답입니다.
해설 보기
정답K_P = 14, K_D = 1이 두 조건을 모두 만족합니다.
핵심 개념
PD 제어기 설계 — 정상상태오차와 감쇠비 동시 만족
단위 피드백에서 개루프 전달함수가 G(s) = (K_P + K_D s)/((s+1)(s+2))인 0형 시스템이므로, 단위계단입력에 대한 정상상태오차는 e_ss = 1/(1+K_p)이고 위치오차상수는 K_p = lim(s→0)G(s) = K_P/2입니다. 한편 폐루프 특성방정식은 (s+1)(s+2) + K_D s + K_P = s² + (3+K_D)s + (2+K_P) = 0이며, 표준 2차형 s² + 2ζω_n s + ω_n²와 비교하면 ω_n = √(2+K_P), 2ζω_n = 3+K_D가 됩니다. 즉 K_P는 정상상태오차 조건에서, K_D는 감쇠비 조건에서 순서대로 결정하는 것이 요령입니다.