해설 보기
정답cos(2t)의 주기 π와 sin(4t)의 주기 π/2의 최소공배수인 π가 기본 주기입니다.
핵심 개념
여러 정현파 합의 기본 주기(최소공배수)
여러 개의 정현파가 더해진 신호의 기본 주기는 각 성분의 개별 주기들의 최소공배수(LCM)로 구합니다. 각 성분의 주기는 각주파수 ω를 이용해 T=2π/ω로 계산합니다. 합성 신호가 주기 신호가 되려면 각 성분 주기의 비가 유리수여야 하며, 이때 전체 주기는 모든 성분 주기를 정수배로 포함하는 가장 작은 값이 됩니다.
선지별 해설
①cos(2t)는 ω=2이므로 주기 T1=2π/2=π, sin(4t)는 ω=4이므로 주기 T2=2π/4=π/2입니다. 두 주기의 최소공배수는 π(=π의 1배, π/2의 2배)이므로 기본 주기는 π입니다.
②2π는 두 성분을 모두 포함하긴 하지만 최소 주기가 아닙니다. 이미 π에서 두 신호가 함께 반복되므로 2π는 기본 주기가 될 수 없습니다.
③3π는 π/2의 정수배가 아니며(3π÷(π/2)=6은 정수지만 π의 배수 조건과 함께 보면 최소값이 아님), 최소 반복 주기 π보다 크므로 기본 주기가 아닙니다.
④4π 역시 두 성분의 공통 주기이긴 하나 최소값이 아니므로 기본 주기가 아닙니다. 기본 주기는 가장 작은 공통 주기인 π입니다.
해설 보기
정답θ=(2π/T)t로 놓으면 (e^{-jθ}-e^{jθ})/(2j) = -sinθ 이므로 -sin((2π/T)t)입니다.
핵심 개념
오일러 공식과 정현파의 지수함수 표현
오일러 공식으로부터 sinθ=(e^{jθ}-e^{-jθ})/(2j), cosθ=(e^{jθ}+e^{-jθ})/2가 성립합니다. 주어진 식이 sin 정의와 부호가 반대인지 아닌지, cos 정의와 대응하는지를 비교하면 어떤 정현파인지 판별할 수 있습니다. 부호 배치가 핵심으로, 지수의 앞뒤 항 순서가 바뀌면 부호가 반전됩니다.
선지별 해설