해설 보기
정답b/(s²−a)
핵심 개념
상태방정식으로부터 전달함수 유도
상태공간 모델에서 전달함수는 G(s)=C(sI−A)⁻¹B로 구하거나, 각 상태방정식을 초기조건 0으로 라플라스 변환한 뒤 상태변수를 소거해서 구합니다. 이 문제는 후자가 훨씬 빠릅니다. ẋ₁=x₂를 변환하면 sX₁=X₂이고, ẋ₂=ax₁+bu를 변환하면 sX₂=aX₁+bU입니다. 앞 식을 뒤 식에 대입하면 s²X₁=aX₁+bU가 되어 (s²−a)X₁=bU를 얻습니다. 출력이 y=x₁이므로 Y=X₁이고, 따라서 Y(s)/U(s)=b/(s²−a)입니다. 상태행렬 A의 (2,1) 성분 a가 특성방정식에서 −a로 넘어간다는 부호 처리가 핵심입니다.
선지별 해설
①분모 부호가 반대입니다. (s²−a)X₁=bU이므로 특성방정식은 s²−a=0이며, s²+a가 아닙니다.
②sX₁=X₂와 sX₂=aX₁+bU를 결합하면 s²X₁=aX₁+bU이고, y=x₁이므로 Y/U=b/(s²−a)가 됩니다.
③입력계수 b가 분자, 상태계수 a가 분모에 와야 하는데 a와 b의 위치가 서로 뒤바뀌었습니다.
④분모는 맞지만 분자 부호가 틀렸습니다. 입력항 bu(t)는 그대로 +b로 전달되므로 −b가 될 수 없습니다.
해설 보기
정답k/(s²+bs+k)
핵심 개념
다중 루프 블록선도의 축약
여러 개의 피드백 루프가 겹쳐 있는 블록선도는 안쪽 루프부터 하나씩 등가 전달함수로 묶어 나가면 간단히 정리됩니다. 부궤환 단일 루프의 등가 전달함수는 순방향 경로/(1+개루프 이득)입니다. 이 문제에서 안쪽 루프는 순방향 1/s²에 bs가 부궤환된 구조이므로 (1/s²)/(1+bs·1/s²)=1/(s²+bs)로 축약됩니다. 이어서 바깥 루프는 순방향이 k·1/(s²+bs)이고 단위 부궤환이므로, 전체 전달함수는 k/(s²+bs+k)가 됩니다. 결과는 표준 2차 시스템 형태로, bs 항이 감쇠를 담당하고 k가 고유진동수와 직류이득을 결정합니다.