해설 보기
정답0.5 — 면적 2/3, 면적 1차모멘트 1/3이므로 x_c = 0.5입니다.
핵심 개념
적분을 이용한 도형의 도심(x_c) 계산
두 곡선으로 둘러싸인 도형의 도심은 면적 A와 면적 1차모멘트 G_y를 각각 적분으로 구한 뒤 x_c = G_y / A로 계산합니다. 여기서 A = ∫(y_위 − y_아래)dx, G_y = ∫x(y_위 − y_아래)dx입니다. y=4x와 y=4x²의 교점은 4x = 4x²에서 x=0과 x=1이므로 적분구간은 0~1이고, 이 구간에서는 직선 y=4x가 포물선 y=4x²보다 위에 있으므로 미소요소의 높이는 (4x − 4x²)가 됩니다. 이런 유형은 도심 공식을 외우기보다 적분 구간(교점)과 위·아래 곡선을 정확히 잡는 것이 핵심입니다.
선지별 해설
①0.4는 면적 1차모멘트나 면적 계산에서 계수를 잘못 잡았을 때 나오는 값입니다. 정확히 적분하면 0.5가 됩니다.
②A = ∫₀¹(4x − 4x²)dx = 2 − 4/3 = 2/3이고, G_y = ∫₀¹ x(4x − 4x²)dx = 4/3 − 1 = 1/3입니다. 따라서 x_c = (1/3)/(2/3) = 0.5로 정답입니다.
③0.6은 도형이 오른쪽으로 더 치우쳤다고 본 값입니다. 실제 도형은 x=0~1 구간에서 좌우로 대칭에 가까운 렌즈형이라 도심이 정확히 0.5입니다.
④0.7은 포물선만 고려해 도심을 구할 때(3/4 = 0.75 부근) 나올 만한 값으로, 두 곡선 사이 도형의 도심과는 다릅니다.
해설 보기
정답C점 3.3 MPa(압축), D점 0.3 MPa(압축)입니다.
핵심 개념
2축 편심하중을 받는 단주의 응력(조합응력)
단주에 편심하중이 작용하면 축응력과 두 축에 대한 휨응력이 겹칩니다. σ = P/A ± P·e_y/Z_x ± P·e_x/Z_y로 계산하며, 각 점의 좌표 부호에 따라 휨응력의 부호가 정해집니다. 이 문제는 b=300 mm, h=240 mm, P=72 kN, e(40, 60)이므로 A = 72,000 mm², Z_x = bh²/6 = 2.88×10⁶ mm³, Z_y = hb²/6 = 3.6×10⁶ mm³입니다. 편심이 있는 쪽 모서리에서 압축이 최대가 되고, 반대쪽 모서리에서 인장이 생길 수 있다는 점이 핵심입니다.