해설 보기
정답ρ_v = ε₀∇·E = 4ε₀x이고 x = 3이므로 12ε₀입니다.
핵심 개념
가우스 법칙의 미분형 — 전계의 발산으로 체적전하밀도 구하기
전계가 함수식으로 주어졌을 때 특정 점의 체적전하밀도를 구하는 문제는 가우스 법칙의 미분형 ∇·D = ρ_v를 쓰면 됩니다. 자유공간이므로 D = ε₀E이고, 따라서 ρ_v = ε₀(∇·E)가 됩니다. 직각좌표계에서 발산은 ∇·E = ∂E_x/∂x + ∂E_y/∂y + ∂E_z/∂z이며, 여기서는 E가 a_x 성분만 가지므로 x에 대한 편미분 한 항만 계산하면 됩니다. E_x = 2(x²+y²)이므로 ∂E_x/∂x = 4x이고, y²항은 x로 미분하면 사라진다는 점이 계산의 핵심입니다. 결국 ρ_v = 4ε₀x가 되어 y, z 좌표와는 무관하고 x좌표에만 좌우됩니다.
선지별 해설
①∇·E = ∂[2(x²+y²)]/∂x = 4x이므로 ρ_v = 4ε₀x이고, 점 (3, 2, 1)에서 x = 3이므로 12ε₀ [C/m³]가 되어 정답입니다.
②24ε₀는 4x에 x·2(=y좌표)를 한 번 더 곱한 값으로, y² 항까지 y로 미분해 더한 잘못된 계산에서 나오는 값입니다.
③36ε₀는 2(x²+y²)에서 x²만 남겨 4·(3²)로 계산하는 식의 오류로, 발산 연산은 제곱이 아니라 1차 미분이므로 성립하지 않습니다.
④48ε₀는 x² + y² = 9 + 4 = 13 같은 값을 잘못 대입하거나 계수를 중복해 곱한 결과로, 정확한 미분 결과인 4x = 12와 맞지 않습니다.
해설 보기
정답v = c/√(ε_r μ_r) = 3×10⁸/√9 = 1.0×10⁸ [m/s]입니다.
핵심 개념
매질 내 전파속도 — 굴절률 √(ε_r μ_r)만큼 느려진다
선형·균질·무손실 매질에서 균일 평면파의 위상속도는 v = 1/√(με) = 1/√(μ₀ε₀·μ_r ε_r) = c/√(μ_r ε_r)입니다. 즉 공기(자유공간) 중 속도 c를 √(ε_r μ_r)로 나눈 값이며, 이때 √(ε_r μ_r)를 굴절률 n이라고 부릅니다. 무손실 매질이므로 감쇠정수는 0이고 속도는 주파수와 무관하므로, 문제에 주어진 800 kHz라는 주파수는 속도 계산에 전혀 쓰이지 않는 함정 조건입니다. 주파수는 매질 안에서도 변하지 않고 대신 파장이 λ = v/f로 짧아진다는 점도 함께 기억해 두면 좋습니다.