해설 보기
정답시간이동 성질(ㄱ)과 주파수이동 성질(ㄴ)만 옳으므로 정답은 ①입니다.
핵심 개념
푸리에 변환의 기본 성질 — 시간이동·주파수이동·척도변환·쌍대성
푸리에 변환의 대표 성질 네 가지를 정확한 계수까지 기억하고 있는지 묻는 문항입니다. 시간이동 성질은 x(t-t0) ↔ X(f)e^(-j2πft0)로 시간축에서 밀면 주파수축에서는 위상만 선형으로 회전합니다. 주파수이동(변조) 성질은 x(t)e^(j2πf0t) ↔ X(f-f0)로 시간축에 복소 정현파를 곱하면 스펙트럼이 그만큼 평행이동합니다. 척도변환 성질은 x(at) ↔ (1/|a|)X(f/a)로 1/|a|라는 진폭 계수가 반드시 붙고, 쌍대성(duality)은 x(t) ↔ X(f)일 때 X(t) ↔ x(-f)로 부호가 뒤집힌 -f가 들어갑니다. 이 문제처럼 계수나 부호를 슬쩍 빼고 출제하는 유형이 많으므로 공식을 통째로 외워두어야 합니다.
선지별 해설
①ㄱ은 시간이동 성질 x(t-t0) ↔ X(f)e^(-j2πft0)로 지수의 부호까지 정확하고, ㄴ은 주파수이동 성질 x(t)e^(j2πf0t) ↔ X(f-f0)로 역시 정확합니다. 따라서 ㄱ, ㄴ만 옳다고 한 ①이 정답입니다.
②ㄱ은 옳지만 ㄹ의 쌍대성은 X(t) ↔ x(-f)여야 합니다. 보기처럼 x(f)로 쓰면 주파수축 반전이 빠져 일반적인 신호에서는 성립하지 않으므로 틀렸습니다.
③ㄴ은 옳지만 ㄷ의 척도변환은 x(at) ↔ (1/|a|)X(f/a)이므로 1/|a| 계수가 빠진 보기는 틀렸습니다. 시간축을 압축하면 스펙트럼은 넓어지면서 진폭이 1/|a|배로 줄어듭니다.
④ㄷ은 1/|a| 계수가 누락되었고 ㄹ은 x(-f)가 아닌 x(f)로 적혀 있어 두 보기 모두 틀렸습니다.
해설 보기
정답진폭 스펙트럼은 주파수에 대해 일정한 상수, 위상 스펙트럼은 주파수에 대해 선형 함수입니다.
핵심 개념
무왜곡 전송(distortionless transmission) 조건
채널이 신호를 왜곡 없이 전송한다는 것은 출력이 입력의 크기만 상수배되고 시간만 일정하게 지연된 형태, 즉 y(t) = K·x(t - td)가 된다는 뜻입니다. 이를 푸리에 변환하면 전달함수는 H(f) = K·e^(-j2πf·td)가 되고, 크기는 |H(f)| = K로 주파수와 무관한 일정한 상수, 위상은 θ(f) = -2πf·td로 주파수에 대한 선형 함수가 됩니다. 즉 무왜곡 조건은 '진폭 응답은 평탄(상수), 위상 응답은 선형'이며, 위상이 선형이라는 것은 군지연(group delay) -1/2π · dθ/df = td가 모든 주파수에서 동일하다는 의미입니다. 진폭이 주파수에 따라 변하면 진폭 왜곡, 위상이 비선형이면 지연(위상) 왜곡이 발생합니다.