해설 보기
정답제어 가능하지도 관측 가능하지도 않습니다.
핵심 개념
상태공간 모델의 가제어성·가관측성 판별
선형시스템 ẋ=Ax+Bu, y=Cx에서 가제어성은 제어가능성 행렬 Mc=[B AB … A^(n-1)B]의 계수(rank)가 n인지로, 가관측성은 가관측성 행렬 Mo=[C; CA; …; CA^(n-1)]의 계수가 n인지로 판별합니다. 이 문제는 2차 시스템이므로 두 행렬 모두 2×2이고, 행렬식이 0이 아니어서 rank가 2가 되어야만 각각 제어 가능·관측 가능합니다. 핵심은 A가 단위행렬이라는 점입니다. A=I이면 AB=B, CA=C가 되어 Mc의 두 열이 서로 같아지고 Mo의 두 행도 서로 같아지므로, 두 행렬 모두 rank가 1로 떨어집니다.
선지별 해설
①Mc=[B AB]=[[1,1],[1,1]], Mo=[C; CA]=[[1,0],[1,0]]로 두 행렬 모두 행렬식이 0이고 rank가 1입니다. 따라서 관측 가능하지도 제어 가능하지도 않으므로 이 선지는 틀렸습니다.
②가관측성 행렬 Mo=[C; CA]는 CA=[1 0]·I=[1 0]이므로 두 행이 동일해 rank가 1입니다. 즉 관측 가능하다는 앞부분부터 성립하지 않으므로 틀렸습니다.
③제어가능성 행렬 Mc=[B AB]는 AB=I·[1 1]ᵀ=[1 1]ᵀ이므로 두 열이 동일해 rank가 1입니다. 제어 가능하다는 앞부분이 성립하지 않아 틀렸습니다.
④Mc와 Mo의 rank가 모두 1로 시스템 차수 2에 미치지 못합니다. 그러므로 이 시스템은 제어 가능하지도 관측 가능하지도 않으며, 이것이 정답입니다.
해설 보기
정답−1, −1 (s=−1의 중근)
핵심 개념
블록선도 등가변환과 폐루프 극점(특성방정식의 근)
폐루프 시스템의 극점은 폐루프 전달함수의 분모, 즉 특성방정식의 근입니다. 그림에서 가산점의 출력을 E(s)=U(s)−Y(s)라 하면, E는 적분기 1/s를 지나 X₂(s)가 되고 동시에 이득 2의 앞먹임(feedforward) 경로로도 전달되어 두 신호가 두 번째 가산점에서 더해집니다. 이 합이 다시 적분기 1/s를 지나 X₁(s)=Y(s)가 되므로 순방향 전달함수는 G(s)=(1/s²)+(2/s)=(2s+1)/s²입니다. 단위 부(−)피드백이므로 Y/U=G/(1+G)=(2s+1)/(s²+2s+1)이 되고, 특성방정식은 s²+2s+1=0입니다.