해설 보기
정답시간응답은 선형시스템에서만 존재한다는 서술이 틀린 설명입니다.
핵심 개념
2차 시스템의 단위계단응답과 시간역 성능지표
2차 시스템의 표준형은 G(s)=ωn²/(s²+2ζωn·s+ωn²)이며, 단위계단입력에 대한 응답은 시간이 지나면 사라지는 과도응답과 최종적으로 남는 정상상태응답의 합으로 나타납니다. 최대오버슈트는 Mp=exp(−ζπ/√(1−ζ²))로 감쇠비 ζ만의 함수이고, ±2% 오차대 기준 정착시간은 ts≈4/(ζωn)로 시정수 τ=1/(ζωn)의 약 4배(±5% 기준이면 약 3배)입니다. 다만 시간응답이라는 개념 자체는 선형·비선형을 가리지 않고 모든 동적 시스템에 존재한다는 점을 함께 기억해야 합니다.
선지별 해설
①시간응답은 시간이 흐르면서 소멸하는 과도응답과 충분한 시간이 지난 뒤 남는 정상상태응답의 합으로 분해됩니다. 제어공학의 기본 정의이므로 옳은 설명입니다.
②단위계단응답의 최댓값은 1+Mp이고 최대오버슈트 Mp=exp(−ζπ/√(1−ζ²))이므로 감쇠비 ζ만의 함수입니다. 따라서 최댓값이 감쇠비에 의존한다는 설명은 옳습니다.
③±2% 오차대를 기준으로 한 정착시간은 ts≈4/(ζωn)이고 시정수는 τ=1/(ζωn)이므로 정착시간은 시정수의 약 4배가 맞습니다. ±5% 기준이라면 약 3배가 됩니다.
④시간응답은 입력에 대한 출력의 시간적 변화를 뜻하므로 비선형 시스템에도 당연히 존재합니다. 선형시스템에서만 존재한다는 서술은 틀렸으며, 이것이 이 문항의 정답입니다.
해설 보기
정답K=8일 때 ωn=2√2가 되어 감쇠비가 정확히 1/√2가 됩니다.
핵심 개념
폐루프 특성방정식 계수 비교로 감쇠비 설정하기
단위 부궤환 시스템의 폐루프 전달함수는 T(s)=G(s)/(1+G(s))입니다. 전방경로가 K/(s(s+4))이므로 폐루프는 K/(s²+4s+K)가 되고 특성방정식은 s²+4s+K=0입니다. 이를 2차 표준형 s²+2ζωn·s+ωn²과 계수별로 비교하면 ωn=√K, 2ζωn=4라는 두 관계식을 얻습니다. 즉 감쇠비 ζ가 지정되면 ωn=2/ζ로 고유주파수가 정해지고, 이득은 K=ωn²으로 환산됩니다. 감쇠비 설정 문제는 이렇게 특성방정식 계수 비교로 푸는 것이 핵심입니다.